Question

如圖，四邊形OACB中，a，b，c△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足sinB+sinC=2sin（B+C）．
（Ⅰ）證明：b+c=2a；
（Ⅱ）若b=c，設(shè)∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四邊形OACB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式右邊利用內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形，再利用正弦定理化簡即可得證；
（Ⅱ）由b+c=2a，b=c，得到a=b=c，即三角形ABC為等邊三角形，四邊形ACBO面積=三角形AOB面積+三角形ABC面積，表示出四邊形ACBO面積，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出面積最大值．

解答：（Ⅰ）證明：∵sin（B+C）=sinA，
∴sinB+sinC=2sinA，
利用正弦定理化簡得：b+c=2a；
（Ⅱ）解：∵b+c=2a，b=c，
∴a=b=c，即△ABC為等邊三角形，
∴S_{四邊形OACB}=S_△OAB+S_△ABC=

1

2

OA•OBsinθ+

3

4

AB²=sinθ+

3

4

（OA²+OB²-2OA•OBcosθ）=sinθ-

3

cosθ+

5 3

4

=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

，
∵θ∈（0，π），
∴θ-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），
當(dāng)且僅當(dāng)θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

時取最大值，S_{四邊形OACB}的最大值為2+

5 3

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．