Question

（本題滿分13分）

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，對(duì)角線MN過C點(diǎn)，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，且受地理?xiàng)l件限制，長不超過米。

（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

（2）若|AN| （單位：米），則當(dāng)AM、AN的長度是多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）|AN|＝3米，|AM|＝米 。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

∴，即（3x－8）（x－8）> 0

∴或  又，

即AN長的取值范圍是 

（2）令y＝，則y′＝

∵當(dāng)，y′< 0，∴函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

∴當(dāng)x＝3時(shí)y＝取得最大值，即（平方米）

得到結(jié)論。

解：設(shè)AN的長為x米（）

∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ -        ------------------------------------ 4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

∴，即（3x－8）（x－8）> 0

∴或  又，

即AN長的取值范圍是                         ----------- 8分

（2）令y＝，則y′＝    -------------- 10分

∵當(dāng)，y′< 0，∴函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

∴當(dāng)x＝3時(shí)y＝取得最大值，即（平方米）

此時(shí)|AN|＝3米，|AM|＝米                      ……………… 13分