Question

（2010•合肥模擬）設函數f(x)=px-

p

x

-mlnx．
（1）當p=2且m=5時，求函數f（x）在（1，+∞）的極值；
（1）若m=2且f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用基本函數的導數公式計算函數f（x）的導函數f′（x），再解不等式f'（x）＜0和f'（x）＞0得函數的單調區(qū)間，最后由極值定義確定函數f（x）在（1，+∞）的極值
（2）先將f（x）在其定義域內為單調函數轉化為恒成立問題，即導函數f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，最后求并集即可

解答：解：f′(x)=p+

p

x2

-

m

x

=

px2-mx+p

x2

（1）當p=2且m=5時，f′(x)=

2x2-5x+2

x2

=

(2x-1)(x-2)

x2

，
∴當x∈（1，2）時，f'（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0
即f（x）在（1，2）上為減函數，在（2，+∞）上為增函數
∴f（x）在x=2處取得極小值，
∴函數f(x)極小值=f(2)=2e-

2

e

-5ln2；
（2）∵m=2，∴f′(x)=

px2-2x+p

x2

  （x＞0）
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內是單調函數，只需h（x）在（0，+∞）內滿足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①當p=0時，h（x）=-2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，∴f/(x)=-

2

x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）內是單調遞減函數，
即p=0適合題意；
②當p＞0時，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=

1

p

∈（0，+∞），
∴h（x）min=p-

1

p

，
只需p-

1

p

≥0，即p≥1時h（x）≥0，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）內為單調遞增函數，
故p≥1適合題意．
③當p＜0時，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x=

1

p

∉（0，+∞），
只要h（0）≤0，
即p≤0時，h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
∴p＜0適合題意．
綜上所述，p的取值范圍為p≥1或p≤0．

點評：本題考查了極值的意義，導數在求函數極值問題中的應用，導數在函數單調性中的應用，不等式恒成立問題的解法