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12.已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=22,順次連接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為22
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線l與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),O為原點(diǎn),若點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上,試求點(diǎn)O到直線l的距離.

分析 (1)由題意可知:e=ca=22,得a=2c,2ab=22,a2-c2=b2,即可求得a和b的值,求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上,OM⊥ON.求得M和N的坐標(biāo),即可求得原點(diǎn)O到直線l的距離為63,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理求得x1x2=2m222k2+1,y1y2=m22k22k2+1,由OMON=0,則x1x2+y1y2═0,求得m2=2k2+23,原點(diǎn)O到直線l的距離為d,則d=m1+k2=2k2+231+k2=63

解答 解:(1)設(shè)橢圓方程為x2a2+y22=1(a>b>0),焦距為2c.
由e=ca=22,得a=2c,①
∵橢圓頂點(diǎn)連線四邊形面積為22,即2ab=22,②
又∵a2-c2=b2,③
聯(lián)立①②③解得c=1,a=2,b=1.
故橢圓的方程為:x22+y2=1;  …(4分)
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上,
∴OM⊥ON.
根據(jù)橢圓的對稱性,可知直線OM、ON的方程分別為y=x,y=-x,
可求得M(63,63),N(63,-63)或M(-63,-63),N(-63,63),
此時(shí),原點(diǎn)O到直線l的距離為63.…(6分)
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),
{y=kx+mx22+y2=1,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,
∴x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m222k2+1,…(8分)
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k22m222k2+1-km(-4km2k2+1)+m2=m22k22k2+1
∵OM⊥ON,
OMON=0,即x1x2+y1y22m222k2+1+m22k22k2+1=3m22k222k2+1=0,
即3m2-2k2-2=0,變形得m2=2k2+23
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d,則d=m1+k2=m2k2+1=2k2+231+k2=63
綜上,原點(diǎn)O到直線l的距離為定值63.…(10分)

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,點(diǎn)到直線距離公式的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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