Question

23．已知向量

m

=（1，

a

x

），

n

=（x，1）其中a∈R，函數(shù)f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）試求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）試求當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（log₂x）在區(qū)間（1，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出．
（II）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（III）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

m

•

n

=x+

a

x

，（x≠0）．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+

1

x

．
∵x∈（1，+∞）時(shí)，log₂x＞0，
∴f（log₂x）=log2x+

1

log2x

≥2

log2x• 1 log2x

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)log2x=

1

log2x

即x=2時(shí)，f（log₂x）取最小值2．
（ III）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′(x)=1-

a

x2

≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
∴a≤x²在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
∴a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．