Question

如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AE=1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為

6

4

．
（1）若F是線段CD的中點(diǎn)，證明：EF⊥面DBC；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OD，則OC⊥面ABD，∠CDO即是CD與平面ABDE所成角．求出BD=2．以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．取BC的中點(diǎn)為G，則AG⊥面BCD，利用

EF

∥

AG

，證明EF⊥面DBC．
（2）求出平面DEC的一個(gè)法向量和平面BCE的一個(gè)法向量．利用兩個(gè)法向量的夾角求二面角D-EC-B的平面角

解答：解：（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OD．
∵DB⊥平面ABC，DB?面ABD，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．
取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OD．
∵△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，
根據(jù)平面和平面垂直的性質(zhì)定理得則OC⊥面ABD，
∴OD是CD在平面ABDE上的射影，
∴∠CDO即是CD與平面ABDE所成角．
∴sin∠CDO=

OC

CD

=

6

4

，而OC=

3

，
∴CD=2

2

，∴BD=2．
取ED的中點(diǎn)為M，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OM為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-1，0），C(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，2)，E(0，-1，1)，F(xiàn)(

3

2

，

1

2

，1)，
取BC的中點(diǎn)為G，則G（

3

2

，

1

2

，0），則AG⊥面BCD，因?yàn)?span id="rlp7rd9" class="MathJye">

EF

=(

3

2

，

3

2

，0)，

AG

=(

3

2

，

3

2

，0)，
所以

EF

∥

AG

，所以EF⊥面DBC．
（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，
又

BF

=(

3

2

，-

1

2

，1)，
取平面DEC的一個(gè)法向量

n

=(

3

，-1，2)
設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量

m

=(x，y，z)，則

CE • m =0 CB • m =0

又

CE

=(-

3

，-1，1)，

CB

=(-

3

，1，0)，
所以

- 3 x-y+z=0 - 3 x+y=0

，令x=1，則y=

3

，z=2

3

．
由此得平面BCE的一個(gè)法向量

m

=(1，

3

，2

3

)．
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

4 3

4×2 2

=

6

4

，所以二面角D-EC-B的平面角的余弦值為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問(wèn)題，能夠降低思維難度．