Question

（2012•遼寧模擬）已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，且對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax-1-lnx可求得f′（x）=

ax-1

x

，對a分a≤0與a＞0討論f′（x）的符號，從而確定f（x）在其定義域（0，+∞）單調(diào)性與極值，可得答案；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，構造函數(shù)g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，g（x）_min即為所求的b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-1-lnx，
∴f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，（1分）
當a≤0時，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點；（3分）
當a＞0時，f'（x）≤0得 0＜x≤

1

a

，f'（x）≥0得x≥

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

]上遞減，在[

1

a

，+∞）上遞增，即f（x）在x=

1

a

處有極小值．（5分）
∴當a≤0時f（x）在（0，+∞）上沒有極值點，當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴a=1，
∴f（x）≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，（8分）
令g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，則g′（x）=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=-

1

x2

（2-lnx），
由g′（x）≥0得，x≥e²，由g′（x）≤0得，0＜x≤e²，
∴g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，（10分）
∴g(x)min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．（12分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，著重考查分類討論思想與構造函數(shù)思想的應用，體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力，屬于難題．