Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{{2^x}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{\;}&{（0≤x＜a）}\\{\;}&{（x＞a）}\end{array}$，若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，2）
• B． （2，+∞）
• C． （2，4）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)可得f（x）=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求a的范圍．

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)
∴f（x）=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由于y=x²在[0，a）遞增，y=2^x在[a，+∞）遞增，
要使函數(shù)f（x）在[0，+∞）不單調(diào)，
即有a²＞2^a，由g（a）=a²-2^a，g（2）=g（4）=0，
可得2＜a＜4．即a∈（2，4），
故選C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．