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7.已知平面向量|{\overrightarrow α}|=|{\overrightarrow β}|=\sqrt{3}\overrightarrow α與 \overrightarrow β-\overrightarrow α的夾角為150°,則|{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|(t∈R)的取值范圍是[\frac{3\sqrt{7}}{14},+∞).

分析\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{α},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{β},則\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{β}-\overrightarrow{α},△OAB為等腰三角形,且∠AOB=120°,∠OAB=∠OBA=30°,求得\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=\sqrt{3}\sqrt{3}•cos120°=-\frac{3}{2},再根據(jù) |{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|=\sqrt{{(t•\overrightarrow{a}+\frac{1-t}{2}•\overrightarrow{β})}^{2}},利用二次函數(shù)的性質求得它的范圍.

解答 解:∵平面向量|{\overrightarrow α}|=|{\overrightarrow β}|=\sqrt{3}\overrightarrow α與 \overrightarrow β-\overrightarrow α的夾角為150°,
如圖,設\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{α},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{β},則\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{β}-\overrightarrow{α},
∴△OAB為等腰三角形,且∠AOB=120°,∠OAB=∠OBA=30°,
\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=\sqrt{3}\sqrt{3}•cos120°=-\frac{3}{2},
|{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|=\sqrt{{(t•\overrightarrow{a}+\frac{1-t}{2}•\overrightarrow{β})}^{2}}=\sqrt{{3t}^{2}+t(1-t)•\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}{+(\frac{1-t}{2})}^{2}•3}
=\sqrt{{3t}^{2}+t(1-t)•(-\frac{3}{2})+\frac{3}{4}•{(t}^{2}-2t+1)}=\sqrt{\frac{21}{4}{(t}^{2}-\frac{4}{7}t)+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{21}{4}{•(t-\frac{2}{7})}^{2}+\frac{9}{28}}\frac{3\sqrt{7}}{14},
故答案為:[\frac{3\sqrt{7}}{14},+∞).

點評 本題考查了向量的夾角、直角三角形的邊角關系、向量共線定理,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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