已知橢圓的離心率為,其左焦點到點的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點、,則內(nèi)切圓的圓面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及此時的直線方程;若不存在,請說明理由.

(1);(2)圓的面積的最大值為,直線方程.

解析試題分析:本題考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及研究三角形內(nèi)切圓面積問題.(1)由橢圓的離心率和左焦點到點的距離為,建立方程組,求出的值,從而得出橢圓方程;(2)是探索性問題,研究是否存在過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點,使得內(nèi)切圓的圓面積最大的問題,求解分三個步驟,根據(jù)條件得出面積的關(guān)系式,將用直線的斜率的倒數(shù)表示,再通過函數(shù)知識求面積的最大值;由此求出直線的方程;將由面積關(guān)系式得到的面積的最大值代入面積關(guān)系式,即可得到圓的半徑的最大值,進(jìn)而求出圓的面積的最大值.
試題解析:(1)設(shè)橢圓左焦點,則,解得,
故所求橢圓方程為.
(2)設(shè),令,,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則的周長為,
因此若最大,則最大,
,由題設(shè)知直線的斜率不為0,可設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立方程組消去整理得
由根與系數(shù)的關(guān)系得,,
,
,令,則,由此得,
,即上單調(diào)遞增,
,則(當(dāng)且僅當(dāng)時,,),
這時所求內(nèi)切圓的面積的最大值為
故直線的方程為,內(nèi)切圓的面積的最大值為.
考點:橢圓方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形的內(nèi)切圓面積.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓兩焦點坐標(biāo)分別為,,且經(jīng)過點
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點,直線與橢圓交于兩點.若△是以為直角頂點的等腰直角三角形,試求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,其中左焦點(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在拋物線 y2=4x上恒有兩點關(guān)于直線l:y=kx+3對稱,求k的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線的焦點為F,過F的直線交拋物線于M、N兩點,其準(zhǔn)線與x軸交于K點.

(1)求證:KF平分∠MKN;
(2)O為坐標(biāo)原點,直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點P、Q,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且|MD|=|PD|,當(dāng)P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,過點的兩直線與拋物線相切于A、B兩點, AD、BC垂直于直線,垂足分別為D、C.

(1)若,求矩形ABCD面積;
(2)若,求矩形ABCD面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點,記△AOB的面積為S.

(1)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(2)當(dāng)|AB|=2,S=1時,求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案