Question

某糧倉是如圖所示的多面體，多面體的棱稱為糧倉的“梁”．現測得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分別與相交的底梁所成角均為60°．
（1）請指出所有互為異面的且相互垂直的“梁”，并說明理由；
（2）若不計糧倉表面的厚度，該糧倉可儲存多少立方米糧食？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行線的性質、異面直線所成的角、平行四邊形的判定和性質即可得出；
（2）利用線面與面面垂直的判定和性質定理及四棱錐和直棱錐的條件計算公式即可得出．
解答：解：（1）EF與AD，EF與BC，DE與BF，AE與CF，
由已知EF∥AB，
∵AB⊥AD，∴EF⊥AD．
同理，有EF⊥BC．
過點E作EK∥FB交AB點K，則∠DEK為異面直線DE與FB所成的角，
∵DE=FB=4，AK=2×（4cos60°）=4，，
∴∠DEK=90°，即DE⊥BF，
同理AE⊥CF．
（2）過點E分別作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，連接MN，則AB⊥平面EMN，
∴平面ABCD⊥平面EMN，
過點E作EO⊥MN于點O，則EO⊥平面ABCD
由題意知，AE=DE=AD=4，AM=DN=4cos60°=2，，
∴O為MN中點，
∴即四棱錐E-AMND的高，
同理，再過點F作FP⊥AB于點P，ENFQ⊥CD于點Q，連接PQ，
原多面體被分割為兩個全等的四棱錐和一個直棱柱，且MP=16-2-2=12，
∴，
答：該糧倉可儲存立方米的糧食．
點評：熟練掌握平行線的性質、異面直線所成的角、平行四邊形的判定和性質、線面與面面垂直的判定和性質定理及四棱錐和直棱錐的條件計算公式是解題的關鍵．