已知函數(shù)f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數(shù), e=2.718…,且函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)互相平行.
(1)求常數(shù)a的值;
(2)若存在x使不等式>成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)y=f(x)和y=g(x)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x0,我們把|f(x0)-g(x0)|的值稱(chēng)為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證:函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.
(1);(2);(3)參考解析
【解析】
試題分析:(1)依題意可得函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)通過(guò)求導(dǎo)函數(shù)即在兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率相等即可求出的值.
(2)不等式恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求出在定義域上的單調(diào)性即可求出m的取值范圍.
(3)本小題是把不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新的函數(shù)的最問(wèn)題. 由于.對(duì)該函數(shù)直接研究存在困難.求導(dǎo)后不能得到所需要的結(jié)論.所以構(gòu)造新函數(shù)從而得到.再構(gòu)造一個(gè)函數(shù)得到lnx+1<x.從而得到偏差要大于2的結(jié)論.本小題的解法較特殊.構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)額是解題的關(guān)鍵和突破口,同時(shí)既有創(chuàng)新思維.
試題解析:(1)f(x)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,). . g(x)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(,0). .所以.所以.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040504450798935357/SYS201404050446112706642697_DA.files/image003.png">>0.所以.
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040504450798935357/SYS201404050446112706642697_DA.files/image013.png">可化為.令.則.因?yàn)閤>0.所以..所以.故.所以在上是減函數(shù).因此.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
(3)y=f(x)與y=g(x)的公共定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040504450798935357/SYS201404050446112706642697_DA.files/image004.png">..令.則>0.所以h(x)在上是增函數(shù).故h(x)>h(0)=0.即…①.令.則.當(dāng)x>1.時(shí). .當(dāng)0<x<1時(shí). .所以m(x)有最大值m(1)=0.因此lnx+1<x…②.由①②得.即.所以函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.
考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題.3.函數(shù)的構(gòu)造.
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已知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3,x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式f(x)< .
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(12分)已知函數(shù)f(x)= (a,b為常數(shù),且a≠0),滿(mǎn)足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一實(shí)數(shù)解,求函數(shù)f(x)的解析式和f[f(-4)]的值.
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已知函數(shù)f(x)=a-
(1)求證:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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( (本小題滿(mǎn)分13分)
已知函數(shù)f(x)=(a-1)x+aln(x-2),(a<1).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a<0時(shí),對(duì)任意x1、x2∈(2,+∞),<-4恒成立,求a的取值范圍.
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(12分)已知函數(shù)f(X)=㏒a(ax-1) (a>0且a≠1)
(1)求函數(shù)的定義域 (2)討論函數(shù)f(X)的單調(diào)性
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