Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，則{a_n}的前64項(xiàng)和為2080．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得${a}_{n+2}+{a}_{n}=（-1）^{n}（2n-1）+2n+1$，同理可得${a}_{n+3}+{a}_{n+1}=-（-1）^{n}（2n+1）+2n+3$，構(gòu)造數(shù)列b_n=a_4n+a_4n-1+a_4n-2+a_4n-3，可知數(shù)列b_n為等差數(shù)列，把{a_n}的前64項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為數(shù)列{b_n}的前16項(xiàng)和得答案．

解答 解：由a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，得：
${a}_{n+2}=-（-1）^{n+1}{a}_{n+1}+2n+1$
=-（-1）ⁿ⁺¹[-（-1）ⁿa_n+2n-1]+2n+1
=$-{a}_{n}+（-1）^{n}（2n-1）+2n+1$，
∴${a}_{n+2}+{a}_{n}=（-1）^{n}（2n-1）+2n+1$，
同理：${a}_{n+3}+{a}_{n+1}=-（-1）^{n}（2n+1）+2n+3$，
于是${a}_{n+3}+{a}_{n+2}+{a}_{n+1}+{a}_{n}=4n+4-2（-1）^{n}$，
令b_n=a_4n+a_4n-1+a_4n-2+a_4n-3，
則b_n+1=b_n+16，b₁=10，
于是，b_n=16n-6，
前16項(xiàng)和為$\frac{（10+16×16-6）×16}{2}=2080$．
故答案為：2080．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬中檔題．