【題目】已知函數(shù),其中.

(1)當時,求函數(shù)處的切線方程;

(2)若函數(shù)存在兩個極值點,求的取值范圍;

(3)若不等式對任意的實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析:(1)求出的值可得切點坐標,求出的值,可得切線斜率,利用點斜式可得曲線在點處的切線方程;(2)是方程的兩個正根,可得可化為,可得上單調(diào)遞增,所以;(3)對任意的實數(shù)恒成立,即對任意的實數(shù)恒成立,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,討論的范圍,令的最小值不小于零,可得到實數(shù)的取值范圍.

詳解(1)當時,,故

,故

所以函數(shù)處的切線方程為

(2)由,可得

因為函數(shù)存在兩個極值點,所以是方程的兩個正根,

的兩個正根為

所以,即

所以

,故上單調(diào)遞增,

所以

得取值范圍是

(3)據(jù)題意,對任意的實數(shù)恒成立,

對任意的實數(shù)恒成立.

,則

①若,當時,,故符合題意;

②若,

(i)若,即,則,上單調(diào)贈

所以當時,,故符合題意;

(ii)若,即,令,得(舍去),

,當時,,上單調(diào)減;

時,,上單調(diào)遞增,

所以存在,使得,與題意矛盾,

所以不符題意.

③若,令,得

時,,上單調(diào)增;當時,,

上單調(diào)減.

首先證明:

要證:,即要證:,只要證:

因為,所以,故

所以

其次證明,當時,對任意的都成立

,則,故上單調(diào)遞增,

所以,則

所以當時,對任意的都成立

所以當時,

,與題意矛盾,故不符題意,

綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.

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月份

廣告投入量

收益

他們分別用兩種模型①分別進行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值

Ⅰ)根據(jù)殘差圖,比較模型①②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個模型?并說明理由;

Ⅱ)殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù),需要剔除

ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)后求出(Ⅰ)中所選模型的回歸方程;

ⅱ)若廣告投入量時,該模型收益的預(yù)報值是多少?

附:對于一組數(shù)據(jù),……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為

,.

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