Question

2．某農(nóng)莊抓雞比賽，籠中有16只公雞和8只母雞，每只雞被抓到的機會相等，抓到雞然后放回，若累計3次抓到母雞則停止，否則繼續(xù)抓雞直到第5次后結(jié)束．
（Ⅰ）求抓雞3次就停止的事件發(fā)生的概率；
（Ⅱ）記抓到母雞的次數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列及其均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，抓到母雞的概率為$\frac{1}{3}$，抓雞3次就停止，說明前三次都抓到了母雞，由此能求出抓雞3次就停止的事件發(fā)生的概率．
（Ⅱ）依題意，隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列及其均值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，抓到母雞的概率為$\frac{1}{3}$，
抓雞3次就停止，說明前三次都抓到了母雞，
則抓雞3次就停止的事件發(fā)生的概率為P=${（{\frac{1}{3}}）^3}$=$\frac{1}{27}$  …（4分）
（Ⅱ）依題意，隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）${C}_{5}^{0}$•${（{1-\frac{1}{3}}）^5}$=$\frac{32}{243}$，
P（ξ=1）=${C}_{5}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（{1-\frac{1}{3}}）^4}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=2）=${C}_{5}^{2}$•${（{\frac{1}{3}}）^2}$•${（{1-\frac{1}{3}}）^3}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•${（{\frac{1}{3}}）^3}$+${C}_{3}^{2}$•${（{\frac{1}{3}}）^2}$•$（{1-\frac{1}{3}}）$•$\frac{1}{3}$+${C}_{4}^{2}$•${（{\frac{1}{3}}）^2}$•${（{1-\frac{1}{3}}）^2}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{17}{81}$  …（8分）
隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{17}{81}$

…．（10分）
隨機變量ξ的均值為E（ξ）=$\frac{32}{243}$×0+$\frac{80}{243}$×1+$\frac{80}{243}$×2+$\frac{17}{81}$×3=$\frac{131}{81}$  …（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．