7．在下列命題中：
①存在一個平面與正方體的12條棱所成的角都相等；
②存在一個平面與正方體的6個面所成較小的二面角都相等；
③存在一條直線與正方體的12條棱所成的角都相等；
④存在一條直線與正方體的6個面所成的角都相等．
其中真命題為①②③④．

分析 平面AB1D1與正方體的12條棱所成的角都相等，且平面AB1D1與正方體的6個面所成較小的二面角都相等；直線AC1與正方體的12條棱所成的角都相等，且直線AC1與正方體的6個面所成的角都相等．

解答 解：如圖，連接AB1D1，則A1-AB1D1為正三棱錐，則A1B1、A1D1、A1A與平面AB1D1所成角相等，
則存在一個平面AB1D1與正方體的12條棱所成的角都相等，故①正確；
正三棱錐A1-AB1D1的三個側(cè)面與底面AB1D1所成角相等，
則存在一個平面AB1D1與正方體的6個面所成較小的二面角都相等，故②正確；
③存在一條直線AC1與正方體的12條棱所成的角都相等，故③正確；
④存在一條直線AC1與正方體的6個面所成的角都相等，故④正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力和思維能力，注意正方體結(jié)構(gòu)特征的合理運用，是中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{3}$）兩條相鄰的對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，若其圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）（　�。�
A．關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱B．關(guān)于點（$\frac{5π}{12}$，0）對稱
C．關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對稱D．關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求證：BD⊥AE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．如圖，某流動海洋觀測船開始位于燈塔B的北偏東θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）方向，且滿足2sin2（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ=1，AB=AD，在接到上級命令后，該觀測船從A點位置沿AD方向在D點補充物資后沿BD方向在C點投浮標，使得C點于A點的距離為4$\sqrt{3}$km，則該觀測船行駛的最遠航程為8km．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．下列等式中，正確的個數(shù)是（　�。�
（1）$\root{n}{a^n}=|a|$；            
（2）若a∈R，則（a2-a+1）0=1；
（3）$\root{3}{{{x^4}+{y^3}}}=\root{3}{x^4}+y$；    
（4）$\root{3}{-1}=\root{6}{{{{（-1）}^2}}}$．
A．0B．1C．2D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．如圖，等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過點A，又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設(shè)圓錐SO的底面半徑為1，圓錐高為$\sqrt{3}$．

（1）求圓錐的側(cè)面積；
（2）若平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為$\frac{{\sqrt{3}}}{π}$，求三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大小．
（3）求異面直線AB與SD所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

19．函數(shù)$y=\frac{4-cosx}{2cosx+3}$的值域為$[\frac{3}{5}，5]$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{4}$，∠C=$\frac{5π}{12}$，AC=2$\sqrt{6}$，AC的中點為D，若長度為3的線段PQ（P在Q的左側(cè)）在直線BC上滑動，則AP+DQ的最小值為$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an=n2+3n（n∈N+），則$\frac{{a}_{1}^{2}}{2}+\frac{{a}_{2}^{2}}{3}+…+\frac{{a}_{n}^{2}}{n+1}$=2n2+6n．

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