Question

19．第二屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)將于2015年12月16日-18日在浙江烏鎮(zhèn)進(jìn)行，屆時(shí)將有世界各國(guó)的互聯(lián)網(wǎng)精英云集于此共商世界互聯(lián)網(wǎng)的未來(lái)．現(xiàn)在人們的生活已經(jīng)離不開互聯(lián)網(wǎng)，網(wǎng)上購(gòu)物已悄悄走進(jìn)人們的生活，在剛剛過(guò)去的雙十一，有4位好友相約：每個(gè)人通過(guò)執(zhí)一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪家購(gòu)物，擲出點(diǎn)數(shù)為5或6的人去淘寶購(gòu)物，擲出點(diǎn)數(shù)小于5的人去京東商城購(gòu)物，且參加者必須從淘寶網(wǎng)和京東商城選擇一家購(gòu)物．
（1）求這4個(gè)人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購(gòu)物的概率；
（2）用ξ，η本別表示這4個(gè)人中去淘寶網(wǎng)和京東商城購(gòu)物的人數(shù)，記X=ξη，求隨機(jī)變量X分分布列與數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“這4個(gè)人中有i人去淘寶購(gòu)物”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），則P（A_i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4）．由此能求出這4個(gè)人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購(gòu)物的概率．
（2）由題意X的可能取值為0，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去淘寶網(wǎng)的概率為$\frac{1}{3}$，
去京東商城購(gòu)物的概率為$\frac{2}{3}$，
設(shè)“這4個(gè)人中有i人去淘寶購(gòu)物”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
則P（A_i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4）．
∴這4個(gè)人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購(gòu)物的概率：
P（A₁）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$．
（2）由題意X的可能取值為0，3，4，
P（X=0）=P（A₀）+P（A₄）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（X=3）=$P（{A}_{1}）+P（{A}_{3}）={C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

EX=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．