Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)， 為中點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，記直線和的斜率為分別為和，且.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）當(dāng)為直角時，求的面積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由已知，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程可得，則， .

設(shè)， ， ，由題意結(jié)合韋達(dá)定理可得： ， ，故，由得，橢圓方程為： .

（Ⅱ）由題意結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得，點(diǎn)，則 .

由直線垂直的條件可得，可解得.則.

試題解析：

（Ⅰ）由已知，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程消去可得：

，

則，即.

設(shè)， ， ，由韋達(dá)定理可得： ，

點(diǎn)為中點(diǎn)，則， ，故，

由得，所以，

故橢圓方程為： .

（Ⅱ）直線，聯(lián)立橢圓方程消去可得：

，

則，點(diǎn)，

∴ .

∵為直角，∴，可解得.

故 .