Question

設函數f（x）=a²lnx-x²+ax+b，已知a是正實數，若存在實數b，使得e≤f（x）≤e²+1對x∈[1，e]恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：求出函數f（x）=a²lnx-x²+ax+b的二階函數，分析函數的凸凹性，進而結合存在實數b，使得e≤f（x）≤e²+1對x∈[1，e]恒成立，可得

e≤f(1)≤e2+1 e≤f(e)≤e2+1

，畫出滿足約束條件的可行域，利用角點法，可求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=a²lnx-x²+ax+b，
∴f′（x）=a²•

1

x

-2x+a，
∴f″（x）=-a²•

1

x2

-2，
當x＞0時，f″（x）＜0恒成立，
故函數f（x）為凸函數，
若存在實數b，使得e≤f（x）≤e²+1對x∈[1，e]恒成立，
只需

e≤f(1)≤e2+1 e≤f(e)≤e2+1

即

e≤a+b-1≤e2+1 e≤a2-e2+ae+b≤e2+1

即

b≥-a+e+1 b≤-a+e2+2 b≥-a2-ea+e2+e b≤-a2-ea+2e2+1

滿足約束條件的可行域如下圖所示：

由

b=-a+e2+2 b=-a2-ea+e2+e

得a=

-e+1+ e2+2e-7

2

，或a=

-e+1- e2+2e-7

2

故M點的坐標為（

-e+1+ e2+2e-7

2

，0），
由

b=-a+e+1 b=-a2-ea+2e2+1

得a=e，或a=1-2e
故N點的坐標為N（e，0）
所以a的取值范圍：

-e+1+ e2+2e-7

2

≤a≤e

點評：本題考查的知識點是導數法判斷函數凸凹性，運算強度大，變形思路比較小，難度較大．