Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CC₁=2CB，∠ACB=90°，則直線BC₁與直線AB₁夾角的余弦值為

5

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可設(shè)CB=1，CA=CC₁=2，分別以CA、CC₁、CB為x軸、y軸和z軸建立坐標(biāo)系，得到A、B、B₁、C₁四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量的坐標(biāo)，根據(jù)異面直線所成的角的定義，結(jié)合空間兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可以算出直線BC₁與直線AB₁夾角的余弦值．

解答：解：分別以CA、CC₁、CB為x軸、y軸和z軸建立如圖坐標(biāo)系，
∵CA=CC₁=2CB，∴可設(shè)CB=1，CA=CC₁=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B₁（0，2，1），C₁（0，2，0）
∴

BC1

=（0，2，-1），

AB1

=（-2，2，1）
可得

BC1

•

AB1

=0×（-2）+2×2+（-1）×1=-3，且|

BC1

|=

5

，|

AB1

|=3，
向量

BC1

與

AB1

所成的角（或其補(bǔ)角）就是直線BC₁與直線AB₁夾角，
設(shè)直線BC₁與直線AB₁夾角為θ，則cosθ=

BC1 • AB1

| BC1 || AB1 |

=

5

5

故答案為：

5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．