已知函數(shù)f(x)=2x3+ax與g(x)=bx2+c的圖象都經(jīng)過點P(2,0),且在點P處有公切線,求f(x),g(x)的表達式及點P處的公切線方程.
分析:函數(shù)f(x)與g(x)的圖象都經(jīng)過點P(2,0),求得a,b值,求f(x),g(x)的表達式;再求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)曲線方程設(shè)出切點坐標(biāo),把設(shè)出的切點橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中表示出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率,由切點坐標(biāo)和斜率表示出切線方程,把原點坐標(biāo)代入切線方程中即可求出切點的橫坐標(biāo),進而得到切點的縱坐標(biāo)和切線的斜率,寫出公切線方程即可.
解答:解:∵函數(shù)f(x)=2x3+ax的圖象經(jīng)過點P(2,0)
∴f(2)=2×23+2a=0∴a=-8
∴f(x)=2x3-8x
∴f′(x)=6x2-8
∴點P處的切線斜率k=f′(2)=6×22-8=16
∵兩函數(shù)圖象在點P處有公切線
∵g′(x)=2bx
∴g′(2)=4b=16∴b=4
∴g(2)=16+c=0∴c=-16
∴g(x)=4x2-16∴點P處的公切線方程為:y=16(x-2),即16x-y-32=0.
點評:本小題主要考查函數(shù)解析式的求解及常用方法、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.屬于基礎(chǔ)題.
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1
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