Question

已知直線L：x+y-9=0和圓M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，點(diǎn)A在直線L上，B、C為圓M上兩點(diǎn)，在△ABC中，∠BAC=45°，AB過圓心M，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)范圍為

[3，6]

．

Answer 1

分析：將圓的方程化為（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）²，設(shè)A（a，9-a）①當(dāng)a≠2時(shí)，把∠BAC看作AB到AC的角，又點(diǎn)C在圓M，由圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，求出a的范圍．②當(dāng)a=2時(shí)，則A（2，7）與直線x=2成45°角的直線有y-7=x-2，M到它的距離，判斷這樣點(diǎn)C不在圓M上不成立．

解答：解：圓M：2x²+2y²-8x-8y-1=0方程可化為（x-2）²+（y-2）²=（

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2

）²，
設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a．
則縱坐標(biāo)為9-a；
①當(dāng)a≠2時(shí)，k_AB=

7-a

a-2

，設(shè)AC的斜率為k，把∠BAC看作AB到AC的角，
則可得k=

5

2a-9

，
直線AC的方程為y-（9-a）=

5

2a-9

（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a²+22a-81=0，
又點(diǎn)C在圓M上，
所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，
即

|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

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2

，
化簡(jiǎn)得a²-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②當(dāng)a=2時(shí)，則A（2，7）與直線x=2成45°角的直線為y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距離d=

|2-2+5|

2

=

5 2

2

＞

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2

，
這樣點(diǎn)C不在圓M上，
還有x+y-9=0，顯然也不滿足條件，
綜上：A點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍為[3，6]．
故答案為：[3，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及方程的應(yīng)用，還涉及了直線中的到角公式，點(diǎn)到直線的距離等．