Question

12．若正數x，y滿足$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，則3x+4y的最小值是5．

Answer 1

分析 由條件可得1=$\frac{1}{5}$（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$），運用乘1法，可得3x+4y=$\frac{1}{5}$（3x+4y）（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）=$\frac{1}{5}$（9+4+$\frac{3x}{y}$+$\frac{12y}{x}$），運用基本不等式，可得最小值，注意等號成立的條件．

解答 解：由正數x，y滿足$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，
可得1=$\frac{1}{5}$（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$），
3x+4y=（3x+4y）•1=$\frac{1}{5}$（3x+4y）（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）
=$\frac{1}{5}$（9+4+$\frac{3x}{y}$+$\frac{12y}{x}$）≥$\frac{1}{5}$（13+2$\sqrt{\frac{3x}{y}•\frac{12y}{x}}$）
=$\frac{1}{5}$×（13+12）=5．
當且僅當$\frac{3x}{y}$=$\frac{12y}{x}$，即x=2y，又$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，
解得x=1，y=$\frac{1}{2}$，3x+4y取得最小值5．
故答案為：5．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意運用乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．