Question

11．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M、N分別為棱AD、BB₁的中點．
（1）求證：直線MN∥平面AB₁D₁；
（2）若正方體的棱長a=2，求點A₁到面AB₁D₁的距離．

Answer 1

分析 （1）取DD₁ 中點G，連接MG、NG，由線面平行的判定定理證明MG∥平面AB₁D₁，NG∥平面AB₁D₁，再由面面平行的判斷得平面MNG∥平面AB₁D₁，從而可得直線MN∥平面AB₁D₁；
（2）直接利用等積法求得點A₁到面AB₁D₁的距離．

解答 （1）證明：取DD₁ 中點G，連接MG、NG，
則MG∥AD₁，
∵MG?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，
∴MG∥平面AB₁D₁，
NG∥B₁D₁，NG?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴NG∥平面AB₁D₁，
又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面AB₁D₁，
∴直線MN∥平面AB₁D₁；
（2）解：設點A₁到面AB₁D₁的距離為d，
∵正方體的棱長a=2，∴△AB₁D₁的邊長為2$\sqrt{2}$，則${S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{6}=2\sqrt{3}$，
則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}d$，即d=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了等積法求多面體的體積，是中檔題．