Question

找一個(gè)最小的正整數(shù)m，使得當(dāng)正整數(shù)n≥m時(shí)，2^n-1＞（n-1）² 恒成立，并用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式．

Answer 1

解：當(dāng)n=1時(shí)2^n-1＞（n-1）²
當(dāng)n=2時(shí)，2^n-1＞（n-1）²
當(dāng)n=3時(shí)，2^n-1=（n-1）²
當(dāng)n=4時(shí)2^n-1＜（n-1）²
當(dāng)n=5時(shí)2^n-1=（n-1）²
當(dāng)n=6時(shí) 2^n-1＞（n-1）²
當(dāng)n=7，8時(shí) 2^n-1＞（n-1）²
…
猜想當(dāng)n≥6，2^n-1＞（n-1）² 恒成立．m的最小值為6．
或令n-1=t，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)y=2^t與y=t²的圖象

交于兩點(diǎn)（2，4），（4，16），當(dāng)t≥5時(shí)2^t＞t²，所以當(dāng)n≥6時(shí)，2^n-1＞（n-1）² 恒成立，得m的最小值為6．
數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=6時(shí)，2^6-1=25=32，（6-1）²=25，32＞25，2^n-1＞（n-1）² 成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥6）時(shí)不等式成立，即有2^k-1＞（k-1）²
則當(dāng)n=k+1時(shí)，2^（k+1）-1=2^k=2•2^k-1＞2•（k-1）²=k²+[（k-2）²-2]＞k² （∵（k-2）²-2＞0）
=[（k+1）-1]²，即是說 當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
由（1）（2）可知當(dāng)n≥6，時(shí)2^n-1＞（n-1）² 恒成立．
分析：對n=1，2，3，4，…取值驗(yàn)證或借助于函數(shù)y=2^x與y=x²的圖象，找出最小的正整數(shù)m等于6，再按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明．
點(diǎn)評：本題考查猜想、證明的推理方法，考查數(shù)學(xué)歸納法證明命題．函數(shù)y=2^x與y=x²是考查指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)綜合題時(shí)常用的兩個(gè)模型，應(yīng)掌握同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，以便于研究解決問題．