Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面積；
（Ⅱ）求

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范圍．

Answer 1

分析：利用正弦定理化簡已知條件，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡，由sinC不為0，得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到B的度數(shù)，
（Ⅰ）根據(jù)余弦定理，由b，cosB和a+c的值，求出ac的值，然后利用三角形的面積公式，由ac的值和sinB的值即可求出三角形ABC的面積；
（Ⅱ）由求出的B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入已知的等式，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個角的范圍，由正弦函數(shù)的值域即可得到所求式子的取值范圍．

解答：解：由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴2cosB-1=0，所以B=60°（3分）
（Ⅰ）由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
即7²=13²-3ac，得ac=40（5分）
所以△ABC的面積S=

1

2

acsinB=10

3

；（6分）
（Ⅱ）因為

3

sinA+sin(C-

π

6

)=

3

sinA+sin(

π

2

-A)
=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，（10分）
又A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
則

3

sinA+sin（C-

π

6

）=2sin（A+

π

6

）∈[1，2）．

點評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及誘導(dǎo)公式化簡求值，靈活運(yùn)用三角形的面積公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．