Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，，∥，，，，，分別為線段，，的中點．

（1）證明：平面∥平面．

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，設與相交于點，利用線面平行的判定定理和面面平行的判定定理即可證明；

（2）由線面垂直的性質可得，，故、 、兩兩互相垂直，

以為原點，所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設平面的法向量為，利用空間向量法，則空間向量所成角的余弦值的絕對值即為所求.

（1）證明：連接，設與相交于點，如圖，

因為∥，且，，

所以四邊形為矩形，

所以為的中點，又因為為的中點，

所以為的中位線，即,

因為平面， 平面，

所以平面，

因為，分別為線段，的中點，所以，

因為平面，平面，

所以平面，

因為平面，平面，，

所以平面∥平面.

（2）因為底面，平面，平面，

所以，因為，

所以、 、兩兩互相垂直，

以為原點，所在的直線為軸，軸，軸，

建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，，，，

所以，

設平面的法向量為，則

，所以，

令，可得，所以，

設直線與平面所成角為，則

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.