Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x（a∈R，a≠1），若?x₀∈（1，+∞）．使得f（x₀）=$\frac{a}{a-1}$，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1）
• B． （-$\sqrt{2}$-1，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，對a分類討論：①當a≤$\frac{1}{2}$時，②當$\frac{1}{2}$＜a＜1時，③當a＞1時，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{1-a}{x}$（x-1）（x-$\frac{a}{1-a}$）．
①當a≤$\frac{1}{2}$時，則$\frac{a}{1-a}$≤1，
則當x＞1時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴存在x≥1，使得f（x）＜$\frac{a}{a-1}$的充要條件是f（1）＜$\frac{a}{a-1}$，即$\frac{1-a}{2}$-1＜$\frac{a}{a-1}$，
解得-$\sqrt{2}$-1＜a＜$\sqrt{2}$-1；
②當$\frac{1}{2}$＜a＜1時，則$\frac{a}{1-a}$＞1，
則當x∈（1，$\frac{a}{1-a}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，$\frac{a}{1-a}$）上單調(diào)遞減；
當x∈（$\frac{a}{1-a}$，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（$\frac{a}{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
∴存在x≥1，使得f（x）＜$\frac{a}{a-1}$的充要條件是f（$\frac{a}{1-a}$）＜$\frac{a}{a-1}$，
而f（$\frac{a}{1-a}$）=aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}}{2（1-a）}$+$\frac{a}{1-a}$＞$\frac{a}{a-1}$，不符合題意，應(yīng)舍去．
③若a＞1時，f（1）=$\frac{1-a}{2}$-1=$\frac{-a-1}{2}$＜$\frac{a}{a-1}$，成立．
綜上可得：a的取值范圍是（-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1）∪（1，+∞）．
故選：D

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．