Question

6．已知函數(shù)f（x）=x⁴+$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{16}$ax²+b，其中a，b∈R，若x=0是函數(shù)f（x）唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由條件轉(zhuǎn)化為：x=0是方程f′（x）=0唯一的實(shí)根，對方程化簡后轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個數(shù)問題，利用判別式列出不等式，求出a的取值范圍．

解答 解：由題意得f′（x）=4x³+ax²+$\frac{1}{8}$ax，
∵x=0是函數(shù)f（x）唯一的極值點(diǎn)，∴x=0是方程f′（x）=0唯一的實(shí)根，
由f′（x）=0得：x（4x²+ax+$\frac{1}{8}$a）=0，
∴方程4x²+ax+$\frac{1}{8}$a=0有唯一的根0或沒有實(shí)根，
∴a=0或△=${a}^{2}-4×4×\frac{1}{8}a＜$0，
解得0≤a＜2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2）．
故答案為：[0，2）

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和分析問題能力，屬于中檔題．