【題目】設函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)設a=b=4,若函數(shù)f(x)有三個不同零點,求c的取值范圍;
(3)求證:a2﹣3b>0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.

【答案】
(1)

解:函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的導數(shù)為f′(x)=3x2+2ax+b,可得y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為k=f′(0)=b,切點為(0,c),可得切線的方程為y=bx+c


(2)

解:設a=b=4,即有f(x)=x3+4x2+4x+c,

由f(x)=0,可得﹣c=x3+4x2+4x,

由g(x)=x3+4x2+4x的導數(shù)g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2),

當x>﹣ 或x<﹣2時,g′(x)>0,g(x)遞增;

當﹣2<x<﹣ 時,g′(x)<0,g(x)遞減.

即有g(x)在x=﹣2處取得極大值,且為0;

g(x)在x=﹣ 處取得極小值,且為﹣

由函數(shù)f(x)有三個不同零點,可得﹣ <﹣c<0,

解得0<c< ,

則c的取值范圍是(0,


(3)

證明:若f(x)有三個不同零點,令f(x)=0,

可得f(x)的圖象與x軸有三個不同的交點.

即有f(x)有3個單調區(qū)間,

即為導數(shù)f′(x)=3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點,

可得△>0,即4a2﹣12b>0,即為a2﹣3b>0;

若a2﹣3b>0,即有導數(shù)f′(x)=3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點,

當c=0,a=b=4時,滿足a2﹣3b>0,

即有f(x)=x(x+2)2,圖象與x軸交于(0,0),(﹣2,0),則f(x)的零點為2個.

故a2﹣3b>0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.


【解析】(1)求出f(x)的導數(shù),求得切線的斜率和切點,進而得到所求切線的方程;
(2)由f(x)=0,可得﹣c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x,求得導數(shù),單調區(qū)間和極值,由﹣c介于極值之間,解不等式即可得到所求范圍;(3)先證若f(x)有三個不同零點,令f(x)=0,可得單調區(qū)間有3個,求出導數(shù),由導數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點,運用判別式大于0,可得a2﹣3b>0;再由a=b=4,c=0,可得若a2﹣3b>0,不能推出f(x)有3個零點.
不同考查導數(shù)的運用:求切線的方程和單調區(qū)間、極值,考查函數(shù)的零點的判斷,注意運用導數(shù)求得極值,考查化簡整理的圓能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知fx)是定義域為R的偶函數(shù),f(-1)=3,且當x≥0時,fx)=2x+x+cc是常數(shù)),則不等式fx-1)<6的解集是( 。

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖:
以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;
(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建坐標系,已知曲線,已知過點的直線的參數(shù)方程為:t為參數(shù)),直線與曲線C分別交于M,N

)寫出曲線C和直線的普通方程;

)若成等比數(shù)列,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了了解某市開展群眾體育活動的情況,擬采用分層抽樣的方法從AB、C三個區(qū)抽取5個工廠進行調查.已知這三個區(qū)分別有9,18,18個工廠.

(1)求從A、B、C三個區(qū)中分別抽取的工廠的個數(shù);

(2)若從抽得的5個工廠中隨機地抽取2個進行調查結果的比較,計算這2個工廠中至少有一個來自C區(qū)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例,若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出v的值為( 。
A.35
B.20
C.18
D.9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)解不等式;

(2)若函數(shù),其中為奇函數(shù),為偶函數(shù),若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P( , )在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設不過原點O且斜率為 的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,
證明:︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD是圓柱OO′的軸截面,點P在圓柱OO′的底面圓周上,圓柱OO′的底面圓的半徑OA=1,側面積為2π,∠AOP=60°.

(1)求證:PB⊥平面APD;

(2)是否存在點G在PD上,使得AG⊥BD;并說明理由.

(3)求三棱錐D-AGB的體積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案