Question

4．若雙曲線(xiàn)M上存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，則雙曲線(xiàn)M的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• B． $（{\sqrt{2}，2}）$
• C． $（{2，2+\sqrt{2}}）$
• D． $（{\sqrt{5}，+∞}）$

Answer 1

分析 由正方形的對(duì)稱(chēng)性得，其對(duì)稱(chēng)中心在原點(diǎn)，且在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x），從而得到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率k=$\frac{a}$＞1，由此能求出雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍．

解答 解：∵雙曲線(xiàn)M上存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，
∴由正方形的對(duì)稱(chēng)性得，其對(duì)稱(chēng)中心在原點(diǎn)，
且在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x），
∴雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率k=$\frac{a}$＞1，
∴雙曲線(xiàn)離心率e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$＞$\sqrt{2}$．
∴雙曲線(xiàn)M的離心率的取值范圍是（$\sqrt{2}$，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的取值的范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線(xiàn)性質(zhì)的合理運(yùn)用．