Question

如圖，點A在直線上的射影為點B在上的射影為，已知．

（Ⅰ）求直線AB分別與平面所成角的大��；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

解法一

  (Ⅰ)如圖, 連接A1B,  AB1,        ………………………1分

  ∵⊥β, ∩β=l ,AA1⊥l,  BB1⊥l,

∴AA1⊥β, BB1⊥.

則∠BAB1,∠ABA1分別是AB與和β所成的………………3分

Rt△BB1A中, BB1= , AB=2,

∴sin∠BAB1 =  =  .

∴∠BAB1=45°.    ………………… 4分

Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= =  ,

∴∠ABA1= 30°.     ………………… 5分

故AB與平面,β所成的角分別是45°, 30°.  ………………… 6分

(Ⅱ) ∵BB1⊥,

∴平面ABB1⊥.

過A1作A1E⊥AB1交AB1于E,則A1E⊥平面AB1B.

過E作EF⊥AB交AB于F,連接 A1F,則由三垂線定理得A1F⊥AB,

∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.       ……………………8分

在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,

∴AB1=B1B=.

在Rt△AA1B1中, AA1 =1, AB1 =.

∴A1B1. ∴A1E==         ……………………9分

∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得

A1F== = ,                 ………………10分

∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE =  = ,

∴二面角A1－AB－B1的大小為arcsin.    …………………12分