已知AB、CD是夾在兩個(gè)平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面α．

答案：
解析：

　　證明：(1)若AB、CD在同一平面內(nèi)，則平面ABDC與α、β的交線為AC、BD．

　　∵α∥β，∴AC∥BD．

　　又M、N為AB、CD的中點(diǎn)，∴MN∥BD．

　　又BD平面α，∴MN∥平面α．

　　(2)若AB、CD異面，如圖，過(guò)A作AE∥CD交α于E，取AE的中點(diǎn)P，連結(jié)MP、PN、BE、ED．

　　∵AE∥CD，∴AE、CD確定平面AEDC．

　　則平面AEDC與α、β的交線為ED、AC，

　　∵α∥β，∴AC∥ED．

　　又P、N為AE、CD的中點(diǎn)，

　　∴PN∥ED．∴PN∥α．

　　同理可證MP∥BE．

　　∴MP∥α．∴平面MPN∥α．

　　又MN平面MPN，∴MN∥α．


提示：

分AB、CD是否共面兩種情況．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下面給出五個(gè)命題：
①已知平面α∥平面β，AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB=CD；
②a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線；
③三棱錐的四個(gè)面可以都是直角三角形．
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ⊆α；
⑤三棱錐中若有兩組對(duì)棱互相垂直，則第三組對(duì)棱也一定互相垂直；
其中正確的命題編號(hào)是
①③④⑤
①③④⑤
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下面給出的幾個(gè)命題中：
①若平面α∥平面β，AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB=CD；
②a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線；
③過(guò)空間任一點(diǎn)，可以做兩條直線和已知平面α垂直；
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ?α；
⑤若點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P在該三角形所在平面內(nèi)的射影是該三角形的外心；
⑥a，b是兩條異面直線，P為空間一點(diǎn)，過(guò)P總可以作一個(gè)平面與a，b之一垂直，與另一個(gè)平行．
其中正確的命題是
①④⑤
①④⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知平面α∥平面β，AB、CD是夾在平面α和平面β間的兩條線段，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，且
AE
EB
=
CF
FD
=
m
n
．求證：EF∥α∥β．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：高考總復(fù)習(xí)全解　數(shù)學(xué)　一輪復(fù)習(xí)·必修課程　（人教實(shí)驗(yàn)版）　B版 人教實(shí)驗(yàn)版　B版 題型：047

已知AB、CD是夾在兩個(gè)平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證MN∥平面β．

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同步練習(xí)冊(cè)答案