Question

11．已知直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ+2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），且C₁與C₂相交于A，B兩點(diǎn)；
（1）當(dāng)tanα=1時(shí)，判斷直線C₁與曲線C₂的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)α變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)P的普通方程，并說(shuō)明它是什么曲線．

Answer 1

分析 （1）直線C₁化為普通方程、曲線C₂化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離與半徑半徑，即可得出結(jié)論；
（2）利用參數(shù)的幾何意義，求出弦AB的中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)，可得P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)tanα=1時(shí)，直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的普通方程為x-y+1=0，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ+2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），即ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1，圓心為（1，0），半徑為1．  
圓心到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＞1，∴直線C₁與曲線C₂相離；
（2）直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入（x-1）²+y²=1，可得（1+tcosα-1）²+（2+tsinα）²=1，
即t²+4tsinα+3=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，∴t₁+t₂=-4sinα，
∴弦AB的中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為-2sinα，
設(shè)P（x，y），則x=1-2sinαcosα，y=2-2sin²α，
∴x-1=-sin2α，y-1=cos2α，
∴（x-1）²+（y-1）²=1，表示以（1，1）為圓心，1為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．