Question

【題目】(2015·四川）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N.

（1）請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）
（2）證明：直線MN∥平面BDH。
（3）求二面角A-EG-M的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

點F、G、H的位置如圖所示.

（2）

見解析。

（3）

【解析】（1）
點F、G、H的位置如圖所示.

（2）連結BD，設O為BD的中點.

∵BC的中點為M、GH的中點為N，
∴OM∥CD，OM=CD，
HN∥CD，HN=CD，
∴OM∥HN，OM=HN，
即四邊形MNHO是平行四邊形，
∴MN∥OH，
∵MN平面BDH；OH面BDH，
∴直線MN∥平面BDH；
（3）連接AC，過M作MH⊥AC于P，

則正方體ABCD﹣EFGH中，AC∥EG，
∴MP⊥EG，
過P作PK⊥EG于K，連接KM，
∴EG⊥平面PKM
則KM⊥EG，
則∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角，
設AD=2，則CM=1，PK=2，
在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=，
在Rt△PKM中，KM==，
∴cos∠PKM=，
即二面角A﹣EG﹣M的余弦值為.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．