已知a∈R,f(x)=
x+1
-
2x
,g(x)=alnx
(1)當(dāng)a=1時(shí),求h(x)=f(x)+g(x)在(0,1]上的最大值;
(2)若函數(shù)t(x)=f(x)+g(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
分析:(I)求導(dǎo),令f′(x)>0求出函數(shù)的增區(qū)間,令f′(x)<0求出函數(shù)的減區(qū)間;
(2)由(Ⅰ)知,f(x)在[0,2]上的單調(diào)性,求得函數(shù)的極值,和f(0)、f(1)比較大小,確定函數(shù)的最大值.
解答:解:(1)當(dāng)a=1時(shí),h(x)=f(x)+g(x)=
x+1
-
2x
+lnx
函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),
h′(x)=
1
2
x+1
1
2x
 +
1
x
>0
∴h(x)在(0,1]單調(diào)遞增,
故函數(shù)h(x)max=h(1)=0
(2)t′(x)=
1
2
x+1
-
1
2x
+
a
x
(x>0)
∵t(x)在(0,1]上是增函數(shù).
∴t'(x)≥0在(0,1]上恒成立.
1
2
x+1
-
1
2x
+
a
x
≥0
在(0,1]上恒成立.
a≥
x
2x
-
x
2
x+1
在(0,1]上恒成立.
令h(x)=
x
2x
-
x
2
x+1

則原問(wèn)題等價(jià)于求h(x)在(0,1]上的最大值.
h′(x)=
2x
4x
-
x+2
4(x+1)
x+1
(x>0)

現(xiàn)只要比較
2x
4x
x+2
4(x+1)
x+1
大小,即可判斷h'(x)的符號(hào).
事實(shí)上
2x
4x
x+2
4(x+1)
x+1
2(x+1)3>x(x+2)2
x3+2x2+2x+2>0
在x>0時(shí)恒成立.)
∴h'(x)>0,即h(x)在(0,1]上是增函數(shù).
∴h(x)在(0,1]上的最大值為h(1)=
2
4

a≥
2
4
點(diǎn)評(píng):考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,屬難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•寶山區(qū)模擬)已知a∈R,f(x)=
2x+a-22x+1
,(x∈R)

(1)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù).
(2)在(1)的條件下,試問(wèn)K為何值時(shí)方程f-1(x)=log2K有正根?

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已知a∈R,函數(shù)f(x)=sinx-a,x∈R為奇函數(shù),則a等于(    )

A.0             B.1                    C.-1            D.±1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=sinx-|a|,x∈R為奇函數(shù),則a的值為(    )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2|x-a|.

(1)當(dāng)a=2時(shí),求使f(x)>x成立的x的集合;

(2)求f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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