Question

．(本小題滿分12分）

已知函數(shù)，是常數(shù)）在x=e處的切線方程為，既是函數(shù)的零點，又是它的極值點．

(1)求常數(shù)a,b,c的值；

(2)若函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，并證明：

 

Answer 1

【答案】

(1) ，， (2) (3) , 證明：當(dāng)時, 即對一切都成立，亦即對一切都成立， 所以，，，…， 所以有，

所以. 

【解析】

試題分析：（1）由知，的定義域為,,

又在處的切線方程為，所以有

,①

由是函數(shù)的零點，得,②

由是函數(shù)的極值點，得，③

由①②③，得，，.  

（2）由(1)知，

因此，，所以

.

要使函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在內(nèi)一定有極值，而

，所以函數(shù)最多有兩個極值.

令. 

（�。┊�(dāng)函數(shù)在內(nèi)有一個極值時，在內(nèi)有且僅有一個根，即

在內(nèi)有且僅有一個根，又因為，當(dāng)          ，即時，在內(nèi)有且僅有一個根

，當(dāng)時，應(yīng)有，即，解得，所 以有.  

（ⅱ）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有兩個極值時，在內(nèi)有兩個根，即二次函

數(shù)在內(nèi)有兩個不等根，所以

解得.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（3）由，得，

令，得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.

由函數(shù)在上單調(diào)遞減可知，

當(dāng)時, ，即，

亦即對一切都成立，

亦即對一切都成立，

所以，

，

，

…

，

所以有，

所以. 

考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性求極值

點評：本題第一問題型基礎(chǔ)簡單，第二問需要分情況討論，對學(xué)生有一定的難度，第三問需要借助于單調(diào)性求出最值進而轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式，難度大