Question

3．經(jīng)過雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點(diǎn)F₁作斜率為2的弦AB，求：
（1）線段AB的長；
（2）設(shè)點(diǎn)F₂為右焦點(diǎn)，求△F₂AB的周長．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的a，b，c，設(shè)出直線AB的方程，代入雙曲線的方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計算即可得到所求值；
（2）由雙曲線的定義，可得|AF₂|+|BF₂|=4a+|AB|，進(jìn)而得到所求周長．

解答 解：（1）雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
可得過左焦點(diǎn)F₁（-2，0），且斜率為2的弦AB所在直線的方程為
y=2（x+2），代入雙曲線方程3x²-y²=3，
可得x²+16x+19=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-16，x₁x₂=19，
即有AB的長為$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{1{6}^{2}-4×19}$=30；
（2）由雙曲線的定義可得|AF₂|-|AF₁|=|BF₂|-|BF₁|=2a=2，
即有△F₂AB的周長為|AF₂|+|BF₂|+|AF₁|+|BF₁|=4a+2（|AF₁|+|BF₁|）
=4a+2|AB|=4+2×30=64．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查三角形的周長，注意運(yùn)用雙曲線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．