已知函數(shù)f(x)=2sin2(
π
4
+x)-
3
cos2x-1   x∈[
π
4
,
π
2
]

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π
4
π
2
]
上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式為
2sin(2x-
π
3
)
,由 2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得x的范圍即得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)不等式|f(x)-m|<2,即 m-2<f(x)<m+2,由x的范圍求得角的范圍,再利用正弦函數(shù)的定義域值域求得 1≤f(x)≤2,結(jié)合題意得到m-2<1 且 m+2>2,由此求得實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=2sin2(
π
4
+x) -
3
cos2x -1
=-cos(
π
2
+2x)-
3
cos2x=sin2x-
3
cos2x=
2sin(2x-
π
3
)

由 2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈z,可得 kπ-
π
12
≤x≤kπ+
12
,,k∈z.
再由x∈[
π
4
π
2
]
,可得 x∈[
π
4
,
12
]
,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間 [
π
4
,
12
]

(2)不等式|f(x)-m|<2,即 m-2<f(x)<m+2.
x∈[
π
4
,
π
2
]
 時,
π
6
≤2x-
π
3
3
,∴
1
2
≤sin(2x-
π
3
)≤1,1≤f(x)≤2.
∵不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π
4
π
2
]
上恒成立,
∴m-2<1 且 m+2>2,
解得 0<m<3,故實數(shù)m的取值范圍為(0,3).
點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的恒成立問題,得到 m-2<1 且 m+2>2,是解題的難點.
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2-xx+1
;
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x
,x>0
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3
3

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3
2
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3
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2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當(dāng)x=
3
3
時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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