Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，鈍角α+

π

4

的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．若α+

π

4

的終邊與圓x²+y²=1交于點(diǎn)（-

3

5

，t）．
（1）求cosα和sinα的值；
（2）設(shè)f（x）=cos（

πx

2

+α），求f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象,任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出sin（α+

π

4

）、cos（α+

π

4

）的值，從而求出cosα、sinα的值；
（2）求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）的值，得出f（x）是以4為周期的函數(shù)，從而求出f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

解答： 解：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，且α+

π

4

為鈍角，得
sin（α+

π

4

）=t=

4

5

，cos（α+

π

4

）=-

3

5

，
即

2

2

（sinα+cosα）=

4

5

，

2

2

（cosα-sinα）=-

3

5

，
cosα=

2

10

，sinα=

7 2

10

；
（2）∵f（x）=cos（

πx

2

+α），
∴f（1）=cos（

π

2

+α）=-sinα=-

7 2

10

，
f（2）=cos（π+α）=-cosα=-

2

10

，
f（3）=cos（

3

2

π+α）=sinα=

7 2

10

，
f（4）=cos（2π+α）=cosα=

2

10

，
f（5）=cos（

5π

2

+α）=-sinα，
…，
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）+f（2）=-

7 2

10

-

2

10

=-

4 2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)求值的問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題以及三角恒等變換問題，是綜合題．