設(shè)向量i=(1,0),j=(0,1),a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j且|a|+|b|=8,x、y∈R.

(1)求動點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程;

(2)過點(diǎn)M(0,3),作直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)ON=OA+OB,問是否存在直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.

解:(1)∵i=(1,0),j=(0,1),|a|+|b|=8,∴=8,

即點(diǎn)P(x, y)到點(diǎn)(0,—2)與點(diǎn)(0,2)的距離之和為8.

設(shè)F1(0,—2),F(xiàn)2(0,2),∴|F 1F2|=4,|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|,

由橢圓定義知點(diǎn)P的軌跡C是以F1.F2為焦點(diǎn)的橢圓.

∵2a=8, 2c=4,∴a=4, c=2,∴b2=a2—c2=12,

∴所求軌跡C方程為=1.

(2)∵,∴OANB是平行四邊形.

∵l過點(diǎn)M(0,3),若l是y軸,則A,B是橢圓的頂點(diǎn),此時(shí)=0,

∴N與O重合,這與四邊形是平行四邊形矛盾.所以直線l的斜率k必存在.

設(shè)直線l的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),

若存在直線l使得OANB是矩形,則,OAOB∴=0,即x1x2+y 1y2=0.

而y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9,

∴(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0①

消去y,得(3k2+4)x2+18kx—21=0②

∵Δ=(18k)2—4(3k2+4)(—21)=(18k)2+84(3k2+4)>0,

∴方程②必有兩實(shí)根x1.x2,且x1+x2=,x1x2=,代入①得,

-(1+k2)=0,解得k2=,

∴k=±.所以存在符合題意的直線l,其方程為:

y=或y=x+3.

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1
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,點(diǎn)A0表示原點(diǎn),點(diǎn)An(n,f(n))(n∈N*),θn是向量
an
與向量
i
=(1,0)
的夾角,
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
,設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn,則
lim
n→∞
Sn
=
 

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i
=(1,0),
j
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i
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e
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A.2         B.3         C.4         D.5

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