Question

已知函數(shù)f（x）=

3

（sin²x-cos²x）-2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)x∈[-

π

2

，

π

2

]，求f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡函數(shù)解析式，然后，借助于周期公式進行求解；
（2）結(jié)合給定的x∈[-

π

2

，

π

2

]，求解其值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

3

（sin²x-cos²x）-2sinxcosx
=-

3

cos2x-sin2x
=-sin（2x+

π

3

），
∴f（x）=-sin（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
∴f（x）的最小正周期π；
（2）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴2x∈[-π，π]，
∴（2x+

π

3

）∈[-

2π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-1，1]，
∴-sin（2x+

π

3

）∈[-1，1]，
∴f（x）的值域[-1，1]，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

5π

6

+2kπ≤2x≤

π

6

+2kπ，
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

12

]．

點評：本題重點考查了三角公式、三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．