Question

(本小題滿分12分)

定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界．

已知函數(shù)；．

（1）   當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在上不是有界函數(shù)．

（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；

當(dāng)時(shí)，的取值范圍是

【解析】解：(1) 當(dāng)時(shí)， 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052402591746873279/SYS201205240301112031796547_DA.files/image011.png">在上遞減，所以，即在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052402591746873279/SYS201205240301112031796547_DA.files/image015.png">

故不存在常數(shù)，使成立

所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)．  

       (2) 由題意知，在上恒成立．

，    

∴ 在上恒成立

∴ 

設(shè)，，，由得 t≥1，

設(shè)，

所以在上遞減，在上遞增，

在上的最大值為，在上的最小值為 

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

(3) ，

∵ m > 0  ，     

∴ 在上遞減，∴     即 

①當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，

②當(dāng)，即時(shí)，， 此時(shí)，  

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；

當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．