Question

13．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{{a}_{n-2}}+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{{a}_{n-1}}$（n∈N^*，n≥3），求a₃，a₄．

Answer 1

分析 由題意可判斷數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，從而解得．

解答 解：∵$\frac{1}{{a}_{n-2}}+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{{a}_{n-1}}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$；
故數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，
故a_n=$\frac{2}{n+1}$，
故a₃=$\frac{2}{3+1}$=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{4+1}$=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想與構(gòu)造法的應(yīng)用．