Question

已知集合A={x||x-a|＜ax，a＞0}，函數(shù)f（x）=sinπx-cosπx．
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求集合A；
（3）如果函數(shù)f（x）是A上的單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為

2

sin（πx-

π

4

），令2kπ-

π

2

≤πx-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由于|x-a|＜ax（a＞0），即

x＞0 -ax＜x-a＜ax

，即

x＞0 x＞ a 1+a (1-a)x＜a

．分a＞1時(shí)、當(dāng)a=1時(shí)、當(dāng)0＜a＜1時(shí)三種情況，分別解得x的范圍，可得A．
（3）當(dāng)a≥1時(shí)，顯然函數(shù)f（x）=

2

sin（πx-

π

4

） 在A上不是單調(diào)遞增函數(shù)．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，要使函數(shù)f（x）=

2

sin（πx-

π

4

） 在A上是單調(diào)增函數(shù)，需（

a

1+a

，

a

1-a

）⊆[-

1

4

，

3

4

]，即

0＜a＜1 a 1-a ≤ 3 4

，由此解得a的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=sinπx-cosπx=

2

sin（πx-

π

4

），令2kπ-

π

2

≤πx-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得2k-

1

4

≤x≤2k+

3

4

，故函數(shù)的增區(qū)間為[2k-

1

4

，2k+

3

4

]，k∈z．
（2）由于|x-a|＜ax（a＞0），即

x＞0 -ax＜x-a＜ax

，即

x＞0 x＞ a 1+a (1-a)x＜a

．
故當(dāng)a＞1時(shí)，解得x＞

a

1+a

；當(dāng)a=1時(shí)，解得x＞

a

1+a

；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得

a

1+a

x＜

a

1-a

．
綜上可得，當(dāng)a≥1時(shí)，A=（

a

1+a

，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，A=（

a

1+a

，

a

1-a

）．
（3）當(dāng)a≥1時(shí)，A=（

a

1+a

，+∞），顯然函數(shù)f（x）=

2

sin（πx-

π

4

） 在A上不是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，A=（

a

1+a

，

a

1-a

），要使函數(shù)f（x）=

2

sin（πx-

π

4

） 在A上是單調(diào)增函數(shù)，
需（

a

1+a

，

a

1-a

）⊆[-

1

4

，

3

4

]，即

0＜a＜1 a 1-a ≤ 3 4

，解得0＜a≤

3

7

，即a的范圍為（0，

3

7

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．