Question

已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A（1，0）和B（-1，0），P是雙曲線上異于A、B的任一點(diǎn)，如果△APB的垂心H總在雙曲線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：首先由題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得a=1，然后根據(jù)△APB的垂心H總在雙曲線上，則由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)P、H關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，那么直線PB與直線HA必然互相垂直，因此設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（m，n），進(jìn)而列出方程組，最后消去參數(shù)m、n可解得b，則雙曲線方程解決．

解答：解：依題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

- 

y2

b2

=1，
因?yàn)閍=1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-

y2

b2

=1．
又△APB的垂心H總在雙曲線上，所以點(diǎn)P、H關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，-n），
所以

m2 - n2 b2 =1 n m+1 • -n m-1 =-1

，解得b=1，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，同時(shí)考查三角形垂心的概念、直線垂直的性質(zhì)及解方程組的能力．