Question

（2011•延慶縣一模）已知函數(shù)f（x）=sinx，x∈(0，

5π

2

)，若方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列，則a的值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：可設(shè)其三個(gè)根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，根據(jù)題意得x₁+x₂=π，①；x₂+x₃=3π，②；又x₁，x₂，x₃成等比數(shù)列，可設(shè)其公比為q，由①②可解得q的值，從而可求得x₁，繼而可求得a．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=sinx，x∈(0，

5π

2

)，若方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，三個(gè)根從小到大依次可設(shè)為x₁，x₂，
x₃，則x₁+x₂=π，x₂+x₃=3π；
∵x₁，x₂，x₃成等比數(shù)列，可設(shè)其公比為q，
則

x2 q +x2=π…① x2+qx2=3π …②

由

①

②

得：

1 q +1

1+q

=

1

3

，即q²-2q-3=0，解得q=-1（舍）或q=3，代入①
∴x₂=

3

4

π，
∴a=sinx₂=sin

3

4

π=

2

2

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，難點(diǎn)在于“x₁+x₂=π，x₂+x₃=3π”的理解，考查了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想，屬于難題．