已知函數(shù)f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)=ax+lnx(其中e為自然對數(shù)的底,a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)是否存在負(fù)實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)x∈[-e,0)時(shí),f(x)的最小值是3?如果存在,求出負(fù)實(shí)數(shù)a的值;如果不存在,請說明理由.
(3)設(shè)g(x)=
ln|x|
|x|
(x∈[-e,0)∪(0,e])
,求證:當(dāng)a=-1時(shí),|f(x)|>g(x)+
1
2
分析:(1)設(shè)x∈[-e,0),則-x∈(0,e],從而可得f(-x)=-ax+ln(-x),結(jié)合f(x)為奇函數(shù)可求f(x),x∈[-e,0)
(2)假設(shè)存在負(fù)數(shù)a滿足條件,由(1)可得,x∈[-e,0)f(x)=ax-ln(-x),結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)=a-
1
x
需分,-
1
e
<a<0
a≤-
1
e
,兩種情況判斷函數(shù)在[-e,0}上的單調(diào)性,進(jìn)而可求函數(shù)的最小值,進(jìn)而可求a
(3)a=-1,f(x)=
-x+lnx,x∈(0,e]
-x-ln(-x),x∈[-e,0)
,從而可得|f(x)|=|x|-ln|x|為偶函數(shù),故只要考慮x∈(0,e]時(shí),f(x)=x-lnx>0而此時(shí),g(x)=
ln|x|
|x|
=
lnx
x
,x∈(0,e]
結(jié)合f(x)=1-
1
x
判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性可求f(x)min=f(1)=1,而g(x)=
1-lnx
x2
≤0
可得g(x)max=g(e)=
1
e
可證f(x)min>g(x)max+
1
2
,從而可證|f(x)|>g(x)+
1
2
解答:解:(1)設(shè)x∈[-e,0),則-x∈(0,e]
∴f(-x)=-ax+ln(-x)
由f(x)為奇函數(shù)可得,f(-x)=-f(x)
∴-f(x)=-ax+ln(-x)
∴f(x)=ax-ln(-x)
f(x)=
ax+lnx,x∈(0,e]
ax-ln(-x),x∈[-e,0)

(2)假設(shè)存在負(fù)數(shù)a滿足條件
由(1)可得,x∈[-e,0)f(x)=ax-ln(-x)
f(x)=a-
1
x

令f′(x)>0可得x>
1
a
,f′(x)<0可得x<
1
a

-
1
e
<a<0
,則函數(shù)在[
1
a
,0)
單調(diào)遞增,在[-e,
1
a
]
單調(diào)遞減,則f(x) min=f(
1
a
)=3

a=-
1
e2

a≤-
1
e
,則函數(shù)在[-e,0)單調(diào)遞增,則f(x)min=f(-
1
e
)
=
a
e
+1=3

a=2e(舍)
a=-
1
e2

(3)a=-1,f(x)=
-x+lnx,x∈(0,e]
-x-ln(-x),x∈[-e,0)

∴|f(x)|=|x|-ln|x|為偶函數(shù),故只要考慮x∈(0,e]時(shí),f(x)=x-lnx>0
而此時(shí),g(x)=
ln|x|
|x|
=
lnx
x
,x∈(0,e]
f(x)=1-
1
x
≥0可得,x≥1,f′(x)<0可得,x<1
∴函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,在[1,e]單調(diào)遞增,則f(x)min=f(1)=1
g(x)=
1-lnx
x2
≥0在(0,e]上恒成立,則可得函數(shù)g(x)在(0,e]單調(diào)遞增,則g(x)max=g(e)=
1
e

1>
1
e
+
1
2
f(x)min>g(x)max+
1
2

x∈[-e,0)同理可證
|f(x)|>g(x)+
1
2
點(diǎn)評:本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式,及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最值,利用單調(diào)性證明不等式,解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì).是綜合性較強(qiáng)的試題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計(jì)算:[f(1)]2-[g(1)]2
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn),且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn;
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長度是一個(gè)定值,則AB的值是(  )

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