Question

8．設(shè)直線系A(chǔ)：（x-1）cos θ+（y-1）sin θ=1（0≤θ＜2π），對(duì)于下列五個(gè)命題：
①存在定點(diǎn)P不在A中的任一直線上；
②A中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；
③對(duì)于任意的正整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在A中的直線上；
④A中的直線所能圍成的正三角形的面積都相等；
⑤A中的直線所能圍成的正方形的面積都相等．
其中所有真命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②④
• B． ②③⑤
• C． ①③⑤
• D． ②④⑤

Answer 1

分析 令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-1=sinθ}\end{array}\right.$，則（x-1）²+（y-1）²=1，故直線系A(chǔ)：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1表示以（1，1）點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓C的所有切線的集合；進(jìn)而逐一分析五個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-1=sinθ}\end{array}\right.$，則（x-1）²+（y-1）²=1，
對(duì)于①故直線系A(chǔ)：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1表示以（1，1）點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓C的所有切線的集合；
故當(dāng)P點(diǎn)在圓C內(nèi)時(shí)，P點(diǎn)不在A中的任一條直線上，故①正確；
對(duì)于②A中所有直線不經(jīng)過任一個(gè)定點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③對(duì)于任意正整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在A中的直線上，此時(shí)圓C為正n邊形的內(nèi)切圓，故③正確；
對(duì)于④A中的直線所能圍成的正三角形面積有6和$\frac{2}{3}$兩種情況，故④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤A中的直線所能圍成的正方形面積均為4，故⑤正確．
∴所有真命題的序號(hào)是：①③⑤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系，其中分析出直線系A(chǔ)表示以（1，1）點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓C的所有切線的集合是解答的關(guān)鍵，是中檔題．