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【題目】已知a＞0，b＞0，且a2+b2=1，證明：

（Ⅰ）4a2+b2≥9a2b2；

（Ⅱ）（a3+b3）2＜1．

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）4a2+b2=（4a2+b2）（a2+b2），再利用基本不等式證明. （Ⅱ）a3＜a2，b3＜b2，a3+b3＜a2+b2，所以（a3+b3）2＜（a2+b2）2=1．

（Ⅰ）因為a2+b2=1，

所以4a2+b2=（4a2+b2）（a2+b2）=4a4+b4+5a2b2≥4a2b2+5a2b2=9a2b2，

當且僅當b2=2a2時，取得等號．

（Ⅱ）因為a＞0，b＞0，且a2+b2=1，

所以a，b∈（0，1），所以a3＜a2，b3＜b2，a3+b3＜a2+b2，

所以（a3+b3）2＜（a2+b2）2=1．

練習冊系列答案
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